3.6 Limites infinitos y limites al infinito

||LIMITES INFINITOS||

Decimos que lim f(x)= si para los valores de x proximos a a,     x→ a    los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.

Análogamente,    lim f(x) = – 
x→a 

si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = – 
x→a 

si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces  f(x) < -k

•Ejemplo:

la función f(x)= 1/|x|

En el punto x=0 se tiene:

lim 1/|x| = – 
x→ 0-
→ lim    1/|x| =                                                x→0 

lim 1/|x| = 
x→a’

 ||LIMITES AL INFINITO||

cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:

• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→ 

•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L.         x→

3.5 Limites laterales

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

3.4 Propiedades de los limites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

3.3 Calculo de limites

Los límites son la herramienta principal sobre la que construimos el cálculo. Muchas veces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el límite).

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular  porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular , porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D=  − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

3.2 Limite de una función con variable real

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f:D————->R

x————->x2.

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

1. El conjunto inicial o dominio de la función.
2. El conjunto final o imagen de la función.
3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ——–>R

x———>x2.

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.

3.1 Limite de una sucesion

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

a₁= 1

a₂= 0.5

a₁₀₀₀= 0.001

a_{1000 000} = 0.000001

El límite es 0.

a₁= 0.5

a₂= 0.6666....

a₁₀₀₀= 0.999000999001

a_{1000 000} = 0.999999000001

El límite es 1.

a₁= 5

a₂= 7

a₁₀₀₀= 2 003

a_{1000 000} = 2 000 003

Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.

Unidad III: Limites y continuidad

El concepto de l´ımite en Matem´aticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funci´on en un determinado punto o en el infinito. Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´on dada por la grafica de la figura y fijemonos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas

¿QuE ocurre cuando nos acercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2’1, 2’01, 2’001. Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01), f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3. Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las im´agenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y =3. Concluimos que el l´ımite de la funci´on f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´al expresamos como: l´ım x→2 f(x)=3 Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funci´on en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la funci´on, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.

Sin embargo la expresi´on matem´atica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja: Definici´on: Dada una funci´on f(x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f(x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como: l´ımx→a f(x) = L cuando: Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < Lo que viene a expresar esta formulaci´on matem´atica es que si x est´a “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pr´oxima a L.