2.10 Funcion Implicita

2.10 Función implícita.

Función implícita:

Es una función de la variable independiente, cuando su dependencia con respecto a la variable independiente no se expresa en forma de ecuación ya resuelta (función explicita).\
Así, en 3x-2y= 5, y es función implícita de x; en la función xy + x= x^3, y es también función implícita de x.

Función explicita:

Es una función de la variable independiente, cuando esta directamente indicadas las operaciones que deben efectuarse con dicha variable para obtener el valor o valores de la función, así, en y=2x-3, y es función explicita de x

‘

2.9 Funciones con Dominio en los Números Naturales y Recorrido en los Numeros Reales

2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales; las sucesiones infinitas.

Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.
En este trabajo, el intervalo de una sucesión infinita será un conjunto de números reales.
Si una función f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n le corresponde un número real f(n).Estos números del intervalo de f pueden representarse al escribir:

f(1),f(2),f(3),...f(n),...

Para obtener la forma de subíndice de una sucesión, hacemos a_n=f(n) para todo entero positivo n. Si consideramos una sucesión como una función f, entonces podemos considerar su grafica en un plano xy. Como el dominio de f, es el conjunto de enteros positivos, los únicos puntos de la grafica son

(1,a₁),(2,a₂),(3,a₃),...,(n,a_n),...,

Donde a_n es el n-ésimo término de la sucesión.

De acuerdo con la definición de funciones, vemos que una sucesión  a₁,a₂,a₃,...,a_n es igual a unasucesión  b₁,b₂,b₃,...,b_nsi y solo si ak=bk para todo entero positivo k.

Otra notación para una sucesión con n-ésimo termino a_n es {a_n}; por ejemplo, la sucesión {2ⁿ} tiene como n-ésimo termino a_n= 2ⁿ  Con la notación de sucesiones, lo escribimos de esta manera: 2¹,2³,2³,...,2ⁿ,...

Por definición, la sucesión {2ⁿ} es la función f con f(n)=2ⁿ Para todo entero positivo n

2.8 Funciones Inversas, Logaritmicas, Trigonometricas Inversas

2.8 FUNCIONES INVERSAS, LOGARITMICAS, TRIGONOMETRICAS INVERSAS.

FUNCIONES INVERSAS. Son dos funciones tales que a todo punto de la gráfica
de la primera función corresponde un punto de la gráfica de la segunda, de tal
manera que la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del
punto correspondiente de la otra y viceversa; es decir, a todo punto de la primera
curva corresponde, en la segunda, otro punto simétrico con respecto a la bisectriz
del ángulo XOY.


FUNCIÓN LOGARITMICA. Es aquella que está afectada por un logaritmo; como: y= log₁₀ x
 .Puede decirse también que la función logarítmica es la inversa de la  función exponencial. Y= a^x  y y= log_a x.



FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS. En trigonometría, cuando el
ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de
longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en
radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,
y= sen X , y es igual al seno de x, la función inversa: X= arco sen y, x es el arco
cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

2.7 Operaciones con Funciones

2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES

ALGEBRA DE FUNCIONES. Si f y g están definidos para todos los números
reales, entonces es posible realizar operaciones numéricas como la suma, resta,
multiplicación y división, con las respectivas funciones f (x) y g(x) . Estas
operaciones están definidas en la siguiente ilustración:
(f+g) (x) = f(x) + g(x)    Adición
(f-g)(x)= f(x)- g(x)     Sustracción
(fxg)(x)= f(x) x g(x)  Multiplicación
 (f/g) (x)= f(x)/g(x)    División

De las funciones anteriores están todas y cada una de ellas en la
interacción de sus dominios excepto para los valores donde g(x) debe excluirse
del dominio de la función cociente.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Es una operación de funciones que consiste en
aplicar sucesivamente dos funciones en un orden determinado con lo cual se
obtiene una tercera función.  fog así obtenida se le llama la composición de
la función f con la función g.
El símbolo (fog) se lee “f compuesta con g”, “f seguida de g”.

2.6 Funciones con mas de una regla de correspondencia

2.6 FUNCION DEFINIDA POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO



La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.
Todas las gráficas de las funciones de valor absoluto están en forma de letra “V”, ya seanrectas u oblicuas en función del valor de la variable.

Esto se debe a que un valor negativo en cada variable es igual en magnitud pero opuesto en su dirección.
Pero definitivamente no se puede llegar a la conclusión de que todas las funciones con forma de V son funciones de valor absoluto, esto es simplemente una probabilidad.
Graficar una función de valor absoluto es muy esencial para utilizar algunos valores negativos en la tabla T.

Esto se debe a que las funciones de valor absoluto se comportan algo diferente de otras funciones lineales.

Generalmente una función real de valor absoluto se comporta de forma continua en todos sus dominios.
También tal función sería diferenciable para todos los valores excepto el cero.
En el caso de una función de valor absoluto compleja, no hay diferenciación posible para alguno de sus valores. Sin embargo, es continua para el dominio completo.

2.5 Funciones trascendentes

2.5 FUNCIONES TRASCEDENTALES

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones trigonométricas

La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.
Función seno

f(x) = sen x





Función coseno

f(x) = cosen x


Función tangente

f(x) = tg x





Función cosecante

f(x) = cosec x





Función secante

f(x) = sec x





Función cotangente

f(x) = cotg x

2.4 Funciones Algebraicas

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS

Un ejemplo de la función algebraica puede ser:

Esto es porque y = f(x) forma una solución de la ecuación polinómica y2 – x = 0. Una función que posea a x como valor de entrada, y que esté compuesto de un número de términos donde cada término tiene dos factores propios se llama función polinómica. De cada uno de los términos de los dos factores, uno es un número real, mientras que el otro se obtiene al elevar un número entero no negativo como una potencia de x del mismo.

Estas son de la forma general:

El valor de n es siempre positivo, también puede ser cero, pero nunca negativo y todos los coeficientes son números reales. El mayor valor de n es conocido como el grado de la función polinomial, aquí el valor de an nunca puede ser igual a cero, por lo que se conoce como el término principal.

Una función polinómica con una sola expresión es llamada también función monomial; sin embargo su comportamiento es el mismo. Una función polinomial con n como grado no puede tener más que n raíces diferentes. En este ejemplo la raíz de un polinomio es cualquier número z tal que f(z) = 0.

Una función f: X  Y es llamada función racional si es la razón de dos funciones polinómicas. No es necesario que los valores que se introducen en la función o los coeficientes de la función polinomial sean racionales para ser una función racional.

La notación utilizada para denotar una función racional es la siguiente.

En tal escenario, P(x) y Q(x) son funciones polinómicas en términos de x, y es esencial que Q(x) no sea una función polinomial de grado cero. Un ejemplo de una función racional puede ser la siguiente;

f(x) = (x2 + 1)/ (x – 1) donde (x2 + 1) y (x – 1) ambos son polinomios en términos de x y el polinomio (x – 1) no es un polinomio de grado cero. Una función f: X Y es llamada como un número irracional si sólo contiene números irracionales en el contradominio de su conjunto.

Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómiales.

La función es irracional cuando algún exponente del polinomio no es entero.

Las funciones polinómicas, anteriormente citadas, racionales e irracionales se llaman funciones algebraicas

2.3 Funcion Real de la Variable Real

2.3 FUNCIÓN REAL DE LA VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACIÓN GRAFICA

Función de Variable Real y su Representación Gráfica

Cualquier función cuyo rango de conjunto incluya sólo números reales esllamada una función valorada real o simplemente una función real.
Especialmente estudiada bajo el cálculo, una función valorada real se centra en las integrales, las desigualdades en general y sus derivadas.
Una función racional, por ejemplo, cae bajo la categoría de una función valorada real.
Al igual que en cualquier otra función, tambiéna una función real pueden realizársele las operaciones básicas, tales como suma, resta, multiplicación, etc.
Aunque el denominador no sea igual a cero, la operación de división se puede realizar en tales funciones.
El resultado de estas operaciones es otra función, que puede no ser una función real en algunos casos.
Si hablamos en términos matemáticos, una definición formal de una función valorada real sería “Una función f: X → Y se llama una función valorada real si asocia un único elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X, donde X e Y son subconjuntos del conjunto R (conjunto de todos los números reales)”.

En términos simples se puede decir que una función que tiene el dominio y co-dominiode su conjunto, como subconjunto de R se llama una función real.

Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x, f (x)) se le llama gráfico de una función.

En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de números reales; la gráfica se llamará gráfica de la función valorada real.

Generalmente el gráfico de tal función es una superficie, donde la entrada de la función es un par ordenado de números reales (x1, x2)y la salida, es decir, el gráfico formado es un triplete (x1, x2, f(x1, x2).

Algunas de las funciones valoradas reales y sus gráficos se analizan a continuación:

1. Función Constante y Gráfico: Una función constante es una función f: X → Y, donde X e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k.

El gráfico formado para esta función es una línea recta paralela al eje X.

Si tenemos que k> 0 la línea estará por encima del eje x, sinola línea se formará por debajo del eje-x.

En el caso que k sea igual a cero la línea se superpone al eje-x.

Ejemplo, y = 12, en este caso una línea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formará la gráfica.

2.2 Funcion Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

2.2 FUNCION INYECTIVA, SOBREYECTIVA Y BIYECTIVA

FUNCIÓN INYECTIVA. Es cuando a cada elemento del conjunto X (dominio) le  corresponde un solo valor distinto en el conjunto Y (imagen) de f tal que, en el 

conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. 

En otras palabras, de todo los pares x, y pertenecen a la funciOn, la “y” no se 

repiten. 

FUNCIÓN SOBREYECTIVA. Es cuando a cada elemento del codominio es imagen de algún 

elemento del dominio. Es decir; es cuando en la función f(x) =y su recorrido es todo.

FUNCIÓN BIYECTIVA. Es cuando una función es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente. 

Es una función f con dominio D y contradominio E, siempre que A sea diferente de B en D entonces 

 f(a) sea diferente d f (b) en E

EJEMPLOS

Unidad II

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIÓN, DOMINIO, CONTRA DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCION.

CONCEPTOS

Variable:  
Es una literal a la que se le pueden asignar, un número ilimitado de valores; las cuales se designan usualmente con las últimas letras del alfabeto las
cuales son p, q, r, s, t, u, w, x, y, z. y algunas letras del alfabeto griego. 

Dominio: 
El dominio de una función está ligado a la definición de función.
Una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y.
Al conjunto X se le llama dominio de la función y a sus elementos se les denomina también valores de entrada. La variable "x" es considerada la variable independiente y en el sistema coordenado se suele graficar en el eje horizontal.

El conjunto Y recibe el nombre de Contra dominio o Rango de la función y son los valores de salida. La variable "y" es la variable dependiente (depende de "x") y se grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la función. Por eso se pone y = f (x)

DOMINIO. Es el conjunto de objetos a los que la función asigna valores.
RANGO. Es el conjunto de valores obtenidos de la función.

Recorrido de una función:

Son los valores que puede tomar la Y tal que sea imagen de x

Recorrido de una función; Rf: y =f (x)