Una función compuesta es una función que implica la imposición de una función a otra función. Sea f(x) una función que es diferenciable sea g(x) cualquier otra función que también es diferenciable.
Entonces, al imponer f(x) a g(x) se produce una nueva función h(x), la cual es una combinación de las dos funciones diferenciables.
h(x) = f(x) 0 g(x)
Considere una función, para la cual debe encontrar la derivada, y(x) = (x2 + 4x +5)
Sería bastante fácil de encontrar.
Pero si fuese encontrar la derivada de una función como la siguiente, y(x) = (x3 + 4x +5)60 entonces sería un problema, a pesar de que sus derivadas pueden ser despejadas, pero si existiera una regla que hiciera el problema fácil de resolver entonces habría sido mucho más simple.
Para resolver este problema de encontrar las derivadas de una función compuesta, Leibniz introdujo la regla de la cadena, que tenía la intención de encontrar la derivada de funciones compuestas.
De acuerdo con la regla de la cadena, las derivadas pueden ser consideradas como fracciones a fin de resolver el problema como,
Así que la regla de la cadena para la diferenciación de una función compuesta es la siguiente,
Vamos a tratar primero de resolver el ejemplo que se ilustra arriba sin la regla de la cadena y después utilizando la regla de la cadena para entender la diferencia entre ambos métodos.
d (x2 + 4x +5)2 / dx
= d(x4+ 8x32 + 26x2 + 40x +25) /dx
= 4x3 + 24 x2 + 52x + 40
La solución anterior fue realizada sin utilizar la regla de la cadena.
Ahora intentemos solucionarla con la regla de la cadena,
d(x2 + 4x +5)2/ dx
= 2(x2 + 4x +5) * (2x + 4)
= 4x3 + 24 x2 + 52x + 40
Como se puede observar se obtiene la misma respuesta, pero requiere un esfuerzo mucho menor debido a la reducción del cálculo envuelto en el enfoque convencional.
Una función valorada real que tiene sólo una variable es la forma más fácil de la regla de la cadena, la cual establece que f(x) es una función que puede ser diferenciada en un punto a y sea g(x) cualquier otra función que puede ser diferenciada a f(a).
Bajo esta situación de f(x) 0 g(x) es una función compuesta que puede ser diferenciada en a.
En los lugares donde las derivadas se calculan directamente, es decir, donde no existe una fórmula directa para el cálculo de derivadas, la regla de la cadena se puede aplicar con el propósito de hacer un cálculo fácil.
La regla de la cadena puede aplicarse convenientemente a una función compuesta donde muchas funciones se imponen sobre otras.
Supongamos que f(x), g(x) y h(x) son tres funciones diferenciables y una función compuesta a partir de ellas es F(x) = f(x) 0 g(x) 0 h(x) tomadas en el mismo el orden.
En tal situación, la regla de la cadena se puede aplicar primero calculando las derivadas de f(x) y g (x) 0 h (x) y luego para g(x) y h(x) y, por último, se combinan los resultados. Esto se denomina cascada de la regla de la cadena para funciones compuestas con múltiples funciones.
Algunas de las otras reglas, que se utilizan de forma independiente para los propósitos de cálculo, son en realidad procedentes de la regla de la cadena; entre ellas una notable es la regla exponencial.
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