3.7 Asintotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asintotas:

1. Asíntotas horizontales

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

2. Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo 

Calcular las asíntotas verticales de la función:

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Para que haya asíntota oblicua se tiene que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el del denominador.

Ejemplo

Calcular las asíntotas de la función:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

3.6 Limites infinitos y limites al infinito

||LIMITES INFINITOS||

Decimos que lim f(x)= si para los valores de x proximos a a,     x→ a    los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.

Análogamente,    lim f(x) = – 
x→a 

si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = – 
x→a 

si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces  f(x) < -k

•Ejemplo:

la función f(x)= 1/|x|

En el punto x=0 se tiene:

lim 1/|x| = – 
x→ 0-
→ lim    1/|x| =                                                x→0 

lim 1/|x| = 
x→a’

 ||LIMITES AL INFINITO||

cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:

• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→ 

•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L.         x→

3.5 Limites laterales

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

3.4 Propiedades de los limites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

3.3 Calculo de limites

Los límites son la herramienta principal sobre la que construimos el cálculo. Muchas veces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el límite).

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular  porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular , porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D=  − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

3.2 Limite de una función con variable real

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f:D————->R

x————->x2.

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

1. El conjunto inicial o dominio de la función.
2. El conjunto final o imagen de la función.
3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ——–>R

x———>x2.

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.

3.1 Limite de una sucesion

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

a₁= 1

a₂= 0.5

a₁₀₀₀= 0.001

a_{1000 000} = 0.000001

El límite es 0.

a₁= 0.5

a₂= 0.6666....

a₁₀₀₀= 0.999000999001

a_{1000 000} = 0.999999000001

El límite es 1.

a₁= 5

a₂= 7

a₁₀₀₀= 2 003

a_{1000 000} = 2 000 003

Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.