Bilbiografia

http://www.euroschool.lu/esmaths/ficheros/quinto6pn/1/ecuadesigvalabso.pdf
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap2/algebra14.html
http://www.vitutor.com/
http://mitecnologico.com/igestion/Main/ResolucionDeDesigualdadesQueIncluyanValorAbsoluto#sthash.ZTrU6KOY.dpuf
http://mitecnologico.com/igestion/Main/ValorAbsolutoYSusPropiedades#sthash.Xf48XxWj.dpuf

http://es.slideshare.net/AlissonMora/proyecto-de-matematicas-2

Louis Leithold

The Calculus 7 (El Cálculo)

1998

GRUPO MEXICANO MAPASA S.A. DE C.V.

Emiliano Zapata No. 93

Col. San Juan Ixhuatepec

Tlanepanltla Edo. México

C.P. 54180

Septima Edicion

Copyright 1994 by Louis Leihold

Publicado por acuerdo con Louis Leithold e Intereses Internacioles Inc.

1383 paginas

Frank Ayres, Jr.

Calculo Diferencial e Integral

1989

Libros McGraw-Hill de Mexico S.A. de C.V.

Atlacomulco 499-501

Naucalpan de Juarez

Edo. México

Segunda Edicion

Traduccion y adapatacion por:

-Luis Gutierres Dies (Ingeniero de Armamento)

-Angel Gutierrez Vazquez (Ingeniero de Armamaneto, Licenciado en Ciencias Fisicas, Diplomado en Ingenieria Nuclear)

353 paginas

1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto

Patron 1: Menor desigualdad absoluta

De acuerdo con este patrón, si la desigualdad a ser resuelta es de la forma | s | <a, entonces en ese caso, la solución correspondiente siempre tendrá la forma de -a <s <a.

Este concepto es válido incluso para las desigualdades de alta complejidad.

Por ejemplo: | x + 3 | <7

De acuerdo con el patrón, puede ser reformulada como
= - 7 <x + 3 <+7


Después de replanteada siguiendo el patrón 1, ahora puede ser resuelta de acuerdo con los fundamentos de la desigualdad, es decir,
- 7 – 3 < x < + 7 – 3 - 10 < x < +4


Por tanto, la solución está en el intervalo de (−10, +4).

Patrón 2: Mayor desigualdad absoluta

De acuerdo con este patrón, si | s |› a es el patrón de la desigualdad dada, entonces la solución puede ser obtenida mediante separar la desigualdad en dos partes, que son s < –a o s > a .

Por ejemplo:| x + 5 | › 8

Siguiendo de acuerdo con el patrón x + 5 < - 8 o x + 5 > 8

Ahora, la desigualdad puede ser resuelta junta como

x < - 8 – 5 o x > 8 - 5

x < −13 o x < 3

Por tanto, la solución consiste en dos intervalos x < - 13 o x < 3.

Otra variedad de problemas pueden ocurrir cuando se da un par de desigualdades con el fin de encontrar las desigualdades con valor absoluto correspondiente. Para resolver este tipo de problemas, es necesario seguir algunos pasos. En primer lugar, mirando los extremos de las desigualdades dadas. El siguiente paso consiste en calcular la diferencia entre los extremos determinados. Ahora, ajustando las desigualdades con la mitad de la diferencia calculada dará las desigualdades en la forma que cualquiera de los dos patrones puede ser aplicado.

La aplicación de estas reglas puede ser demostrada con la ayuda de un ejemplo:

Supongamos que las desigualdades provistas son:

De acuerdo con las reglas, los extremos determinados son 24 y 19. Estos extremos están a 5 unidades de distancia. Por tanto, las desigualdades se puede ajustar entre la mitad de la diferencia, es decir −2.5 a +2.5.

Ahora, desde 19 – (−2.5) = 21.5 y 24 – 2.5 = 21.5, por tanto 21.5 se necesita para ser restado de todos los lados de las desigualdades.

x < 19 o x > 24

x – 21.5 < 19 – 21.5 o x – 21.5 > 24 – 21.5

x – 21.5 < –2.5 o x – 21.5 > 2.5

Se puede observar que el resultado es de la forma “mayor que”. Por tanto, el resultante de la desigualdad con valor absoluto es | x - 21.5 |› 2.5

 Fuente: http://mitecnologico.com/igestion/Main/ResolucionDeDesigualdadesQueIncluyanValorAbsoluto#sthash.ZTrU6KOY.dpuf

1.6 Valor absoluto y sus propiedades

El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número.

El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.

Por ejemplo, la posición de 2 y −2 en la recta numérica indica que −2 <2, pero que ambos están a la misma distancia de 0.

Por lo tanto, se dice que −2 y 2 tienen el mismo valor absoluto.

En el caso de los números reales las generalidades del valor absoluto pueden encontrarse en una amplia variedad de ajustes aritméticos.

Por ejemplo, el valor absoluto puede ser descrito por los cuaterniones, números complejos, los campos, anillos ordenados, así como para los espacios vectoriales.

Estos valores están directamente relacionados con los conceptos de distancia, magnitud y norma en la variedad de contextos físicos y matemáticos.

Para cualquier número, si:
Entonces | x | = x y si


x ‹ 0 entonces | x | = -x

Las propiedades fundamentales del valor absoluto son:

No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.

Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.

| x | = 0 x = 0

Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.

| xy| = | x | | y |

Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.

| x + y| = | x | + | y |

En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son:

Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo.

| - x | = x

Identidad de Indiscernibles: Equivalente de la definición positiva, establece que si el módulo de la resta de dos números es 0, entonces los dos números son iguales en su valor.

| x – y | x = y

Desigualdad Triangular: Puede ser expresada en la forma: | x – y | | x – z | + | z - x |.

Preservación de la División: Es el equivalente de la propiedad multiplicativa y establece que el módulo de la división de dos números es siempre igual a la división del módulo de los dos números por separado.

| x / y| = | x | / | y | si y 0

Dos propiedades que pueden ser significativas en algunos casos incluyen:

| x | y -y x 9

| x | y x -y ó y x

Fuente:

http://mitecnologico.com/igestion/Main/ValorAbsolutoYSusPropiedades#sthash.Xf48XxWj.dpuf

1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita

Desigualdades de primer grado

Las desigualdades de primer grado (lineales) se pueden resolver de una manera similar a las ecuaciones lineales.

Es decir se puede despejar la incógnita utilizando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad.

Es necesario tomar en cuenta una diferencia muy importante pues cuando una desigualdad se multiplica por un valor negativo la dirección de la desigualdad se invierte, es decir, de menor cabia a mayor y viceversa.

Ejercicios:

Desigualdades de segundo grado con una incógnita

De acuerdo con las características de la expresión cuadrática podemos determinar si la resolvemos por la formula general, por factorización o despejando.

Ademas de tener en cuenta el efecto de la raíz cuadrada.

El resultado lo expresamos en notación de dos intervalos con una unión (conjunto unión)
1.-

2.-

3.-

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades

En la recta numérica existen inecuaciones de orden que se pueden dar en 3 alternativas:

1. a<b
2. a>b
3. a=b

Una desigualdad es de una forma:
10+3>6
la podemos transformar en inecaucion que es cuando se introduce una incógnita (x):
 10+x>6

Intervalo en los números

la expresión:
n={xE
R|a<x<b}
representa el conjunto del numero e incluye si intervalo.

Tipos de intervalo

• Abierto:

conjunto de números entre a y b, sin incluirlos:

(a,b)

• Cerrado

conjunto de números entre a y b, incluye a ambos:

[a,b]

• Semiabierto por la derecha

intervalo de puntos entre a y b; que incluye a a pero excluye a b:

[a,b)

• Semiabierto por la izquierda

intervalo de puntos entre a y b; que incluye a b pero excluye a a:

(a,b]

1.3 Propiedades de los números reales

Las propiedades que existen en los números reales son indispensables, tanto por la ordenación de los números, como también, para poder dar solución a los problemas matemáticos.
Así también los podemos observar y comprender mejor; como obtener soluciones y como es su representación.
En estos tenemos los axiomas que son los siguientes:

• Asociativo de la suma

(a+b)+c= a+(b+c)

• Conmutativo de la suma

a+b=b+a

• Conmutativo de la multiplicación

a*b=b*a

• Asociativo de la multiplicación

a(bc)=(ab)c

• Distributiva

a(b+c)= ab+ac

• Elemento neutro aditivo

a+0=a

• Elemento neutro multiplicativo

a*0=0

• Elemento neutro aditivo

a(o)=0

• Elemento inverso multiplicativo

a*1/a= 1

1.2 Los números reales

Más concretamente nos encontramos con el hecho de que los números reales se clasifican en números racionales e irracionales. En el primer grupo se encuentran a su vez dos categorías: los enteros, que se dividen en tres grupos (naturales, 0, enteros negativos), y los fraccionarios, que se subdividen en fracción propia y en fracción impropia. Todo ello sin olvidar que dentro de los citados naturales también hay tres variedades: uno, naturales primos y naturales compuestos.

En el segundo gran grupo anteriormente citado, el de los números irracionales, nos encontramos a su vez que existen en su seno dos clasificaciones: irracionales algebraicos e intrascendentes.

Dentro de la Ingeniería se hace especialmente uso de los citados números reales y en ella se parte de una serie de ideas claramente delimitadas como serían las siguientes: los números reales son la suma de los racionales y los irracionales, el conjunto de los reales puede definirse como un conjunto ordenado y este se puede representar mediante una recta en la que cada punto de la misma representa a un número concreto.

Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos excepciones: las raíces de orden par de los números negativos no son números reales y no existe la división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).

1.1 La recta numérica.

La recta numeria consiste en 3 clasificaciones

1. Numeros reales negativos (los que se encuentran a la izquierda del origen)
2. El numero real cero, es el punto de origen
3. Los números reales positivos (los que están ala derecha del origen)

Una propiedad importante de la recta numérica proviene del hecho que dado dos números (puntos) a y b, "a" puede encontrarse a la derecha, a la izquierda o en la misma posición que "b"

Unidad 1:Los Números reales

Este blog fue creado con la intención de dar a conocer los temas presentados en la primera unidad de la materia Calculo Diferencial impartida por la catedrático Ing. Patricia Bedolla Azuara en la carrera de Ingeniería Mecatronica grupo B del Instituto Tecnológico de Matamoros

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).